Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom dan diletakkan antara dua tanda kurung. Tanda kurung yang digunakan untuk mengapit susunan anggota matriks tersebut dapat berupa tanda kurung biasa atau tanda kurung siku. Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Kumpulan elemen yang tersusun secara horizontal disebut baris, sedangkan kumpulan elemen yang tersusun secara vertikal disebut kolom. Suatu matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m x n dan disebut sebagai matriks yang memiliki orde m x n. Penulisan matriks menggunakan huruf kapital dan tebal. Pembahasan tentang matriks banyak ditemukan dalam ilmu Matematika.

Sebagai contoh:

Diketahui jumlah penjualan mobil jenis A, B, dan C, dengan harga jual masing-masing 146, 275, dan 528 (dalam juta) pada kota-kota P, Q, R, adalah :

JENIS MOBIL	HARGA MOBIL (JUTA)	JUMLAH PENJUALAN TIAP KOTA (UNIT)
JENIS MOBIL	HARGA MOBIL (JUTA)	KOTA P	KOTA Q	KOTA R
A	146	34	56	41
B	275	45	36	37
C	528	51	32	46

Data penjualan mobil tersebut dapat dibuat dalam bentuk matriks sebagai berikut :

Matriks harga mobil adalah $\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$

Matriks jumlah penjualan adalah $\begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:

Banyak baris, m = 3
Banyak kolom, n = 3
Ordo matriks, m x n = 3 x 3

Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil:

$E = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Dimana, $e_{12} = 56$ adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:

$E = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

atau

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris

$\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$ atau $D = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 3, atau

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks $a_{ij} = 0$ untuk $i > j$ atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i < j$ atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga atas,

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$ atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

6. Matriks Indentitas

sudah dijelaskan di atas

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen $a_{ij}$ sama dengan elemen $a_{ji}$ .

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Operasi perhitungan pada matriks

Kesamaan 2 matriks :

2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh: ${\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}$

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

$6x=3$ maka $x={\frac {1}{2}}$
$2y+2=1$ maka $y=-{\frac {1}{2}}$
$z-y=5$ maka $z={\frac {9}{2}}$

$2x-y+5z$
$=2\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}+5\left({\frac {9}{2}}\right)$
$=23$

Penjumlahan matriks

2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh: ${\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&3+6x&5+z-y\\2y+3&8&-14\end{pmatrix}}$

Pengurangan matriks

2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh: ${\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3-6x&5-z-y\\-2y-1&0&0\end{pmatrix}}$

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

$3{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&18x&3z-3y\\6y+6&12&-21\end{pmatrix}}$

Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ dan $B={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}$

maka $A\times B={\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}}$

Contoh:

${\begin{pmatrix}2&6\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&8\\2&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}30&76\\35&64\end{pmatrix}}$

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari $A_{m x n}$ adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ ditranspose menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

Sifat dari transpose matriks: $(A^T)^T = A$ .

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix}$ dan Jika $B = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}$ , maka agar $A = B^T$ , berapakah nilai c?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $A = B^T$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2 \\ a & b+7 \end{pmatrix}^T$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix}$

Sehingga didapat 4 persamaan baru dari elemen-elemen matriksnya, yaitu:

$\frac{1}{2}a = 2c - 3b$ (persamaan ke-1)
2 = a (persamaan ke-2)
b = 2a + 1 (persamaan ke-3)
$\frac{3}{2}c = b + 7$ (persamaan ke-4)

Dari persamaan tersebut dapat dilakukan substitusi persamaan untuk memperoleh nilai c, yaitu:

a = 2, maka:

b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5

dan

$\frac{3}{2}c = b + 7$

$c = \frac{2}{3}(b + 7) = \frac{2}{3}(5 + 7) = 8$ .

Refrensi materi diatas dan bisa anda kunjungin juga untuk cari materi lain nya.

Berbagi Pengetahuan Tentang Perkembangan Teknologi

Minggu, 17 November 2019

Tugas Matriks 2x2 dan 3x3

Selasa, 29 Oktober 2019

Matriks Dasar – Pengertian, Jenis, Transpose

Pengertian Matriks